Inégalités classiques pour le concours général de mathématiques

Démonstration pour n = 2. Soient a, b > 0. On veut montrer que (a + b)/2 ≥ √(ab). Or :

car un carré est toujours positif. L'inégalité est donc établie. Il y a égalité si et seulement si (√a − √b)² = 0, c'est-à-dire √a = √b, soit a = b. ∎

Démonstration (via le trinôme). Fixons les réels aᵢ et bᵢ, et considérons, pour tout réel t :

Comme P(t) est une somme de carrés, on a P(t) ≥ 0 pour tout réel t. Le trinôme P(t) ne change donc pas de signe : son discriminant est négatif ou nul. Ce discriminant vaut :

ce qui donne, après division par 4, exactement l'inégalité annoncée : (Σ aᵢbᵢ)² ≤ (Σ aᵢ²)(Σ bᵢ²). ∎

Cas d'égalité. Δ = 0 signifie que P admet une racine double t₀, c'est-à-dire P(t₀) = Σ (aᵢt₀ + bᵢ)² = 0. Une somme de carrés nulle impose aᵢt₀ + bᵢ = 0 pour tout i, soit bᵢ = −t₀ aᵢ : les familles sont proportionnelles. Réciproquement, si bᵢ = λaᵢ pour tout i, l'égalité est immédiate par substitution. ∎

Démonstration (par récurrence). Pour n = 1, l'inégalité (1 + x)¹ ≥ 1 + x est une égalité : la propriété est vraie.

Supposons la propriété vraie au rang n ≥ 1, c'est-à-dire (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx pour tout x > −1. Comme x > −1, on a 1 + x > 0, ce qui permet de multiplier l'inégalité par (1 + x) sans en changer le sens :

car nx² ≥ 0. La propriété est donc vraie au rang n + 1 : par récurrence, elle est vraie pour tout n ≥ 1. Pour n ≥ 2, l'inégalité est stricte dès que x ≠ 0 puisque nx² > 0. ∎

Correction. Appliquons l'inégalité AM-GM à deux variables à chacune des trois sommes :

a + b ≥ 2√(ab), avec égalité si et seulement si a = b ;
b + c ≥ 2√(bc), avec égalité si et seulement si b = c ;
c + a ≥ 2√(ca), avec égalité si et seulement si c = a.

Ces trois quantités sont strictement positives ; en multipliant les trois inégalités membre à membre :

car √(a²b²c²) = abc (les nombres sont positifs). Il y a égalité si et seulement si les trois égalités ont lieu simultanément, c'est-à-dire a = b = c. ∎

Correction. Appliquons l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux familles (a, b, c) et (1, 1, 1) :

Comme a + b + c = 1, le membre de gauche vaut 1, d'où 1 ≤ 3(a² + b² + c²), c'est-à-dire a² + b² + c² ≥ 1/3.

Le cas d'égalité dans Cauchy-Schwarz exige la proportionnalité de (a, b, c) et (1, 1, 1), c'est-à-dire a = b = c. La contrainte a + b + c = 1 impose alors a = b = c = 1/3, et on vérifie : 3 × (1/3)² = 3 × 1/9 = 1/3. ∎

Correction. Posons S = a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b). La démonstration repose sur deux idées : une réécriture astucieuse de S, puis l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Étape 1 : une réécriture de S. Remarquons que pour chaque terme, a/(b + c) + 1 = (a + b + c)/(b + c). En sommant les trois égalités analogues :

Étape 2 : minoration de la somme des inverses. Appliquons l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux familles (√(b + c), √(a + c), √(a + b)) et (1/√(b + c), 1/√(a + c), 1/√(a + b)) : le membre de gauche du produit vaut (1 + 1 + 1)² = 9, et la première parenthèse du membre de droite vaut 2(a + b + c). On obtient donc :

Étape 3 : conclusion. En reportant dans l'étape 1 (le facteur a + b + c est strictement positif) : S + 3 ≥ (a + b + c) · 9 / (2(a + b + c)) = 9/2, d'où S ≥ 9/2 − 3 = 3/2. ∎

Cas d'égalité. L'égalité dans Cauchy-Schwarz (étape 2) exige la proportionnalité des deux familles, c'est-à-dire l'existence de λ avec 1/√(b + c) = λ√(b + c), et de même pour les deux autres : cela impose b + c = a + c = a + b, d'où a = b = c. Réciproquement, si a = b = c, alors S = 3 × a/(2a) = 3/2. Le cas d'égalité de Nesbitt est donc exactement a = b = c. ∎