Les Olympiades de Mathématiques se déroulent en deux épreuves de 2h :
En savoir plus sur l’organisation des olympiades de maths
L’exercice national des Olympiades de Mathématiques 2023 sollicitait des compétences et des connaissances en algèbre, en arithmétique, en analyse combinatoire et en fonction Python.
Énoncé du problème : PLUS FORT !
Dans tout ce problème, 𝑛 désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. Un joueur dispose de 𝑛 cartes numérotées de 1 à 𝑛. Il les mélange puis note dans l’ordre la suite des numéros des cartes obtenue. On appelle liste la suite des numéros ainsi observés. Le nombre 𝑛 sera appelé longueur de la liste. Par exemple, avec 𝑛 = 8, une liste possible est 𝐿 = [2,5,7,6,1,8,4,3]. Avec une liste donnée, le joueur marque un point chaque fois que le numéro d’une carte est supérieur à celui de la carte précédente. Par exemple avec la liste 𝐿 = [2, 𝟓, 𝟕, 6,1, 𝟖, 4,3], le joueur marque 3 points. On appelle score le nombre de points marqués par le joueur. Le score précédent est donc 3.
On revient au cas général ainsi qu’à des considérations théoriques.
On note désormais 𝐿𝑛(𝑠) le nombre de listes de longueur 𝑛 et de score 𝑠.
5. Déterminer 𝐿𝑛(0) et 𝐿𝑛(𝑛 − 1).
6. Une relation de récurrence
a. Déterminer 𝐿3 (0), 𝐿3 (1) et 𝐿3(2). Comment insérer dans la liste [3,1,2] la carte portant le numéro 4 pour obtenir une liste dont le score vaut encore 1 ?
b. Comment insérer dans la liste [3,2,1] la carte portant le numéro 4 pour obtenir une liste dont le score reste nul ?
c. Vérifier que 𝐿4(1) = 2𝐿3(1) + 3𝐿3(0).
d. Montrer que pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 3, 𝐿𝑛+1(1) = 2𝐿𝑛(1) + 𝑛𝐿𝑛(0).
e. Pour tout 𝑛 et pour tout entier naturel 𝑘 non nul, exprimer 𝐿𝑛+1(𝑘) à l’aide de 𝐿𝑛(𝑘) et 𝐿𝑛(𝑘 − 1).
f. Dresser un tableau des valeurs de 𝐿𝑛(𝑘) pour 𝑛 ∈ {3, 4, 5} et 𝑘 ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
Découvrir et réviser les annales des Olympiades de Mathématiques avec Cours Gauss
L’exercice national des Olympiades de Mathématiques 2023 sollicitait des compétences et des connaissances en algèbre, en arithmétique, en analyse combinatoire et en fonction Python.
Énoncé du problème : PLUS FORT !
Dans tout ce problème, 𝑛 désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. Un joueur dispose de 𝑛 cartes numérotées de 1 à 𝑛. Il les mélange puis note dans l’ordre la suite des numéros des cartes obtenue. On appelle liste la suite des numéros ainsi observés. Le nombre 𝑛 sera appelé longueur de la liste. Par exemple, avec 𝑛 = 8, une liste possible est 𝐿 = [2,5,7,6,1,8,4,3]. Avec une liste donnée, le joueur marque un point chaque fois que le numéro d’une carte est supérieur à celui de la carte précédente. Par exemple avec la liste 𝐿 = [2, 𝟓, 𝟕, 6,1, 𝟖, 4,3], le joueur marque 3 points. On appelle score le nombre de points marqués par le joueur. Le score précédent est donc 3.
On revient au cas général ainsi qu’à des considérations théoriques.
On note désormais 𝐿𝑛(𝑠) le nombre de listes de longueur 𝑛 et de score 𝑠.
5. Déterminer 𝐿𝑛(0) et 𝐿𝑛(𝑛 − 1).
6. Une relation de récurrence
a. Déterminer 𝐿3 (0), 𝐿3 (1) et 𝐿3(2). Comment insérer dans la liste [3,1,2] la carte portant le numéro 4 pour obtenir une liste dont le score vaut encore 1 ?
b. Comment insérer dans la liste [3,2,1] la carte portant le numéro 4 pour obtenir une liste dont le score reste nul ?
c. Vérifier que 𝐿4(1) = 2𝐿3(1) + 3𝐿3(0).
d. Montrer que pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 3, 𝐿𝑛+1(1) = 2𝐿𝑛(1) + 𝑛𝐿𝑛(0).
e. Pour tout 𝑛 et pour tout entier naturel 𝑘 non nul, exprimer 𝐿𝑛+1(𝑘) à l’aide de 𝐿𝑛(𝑘) et 𝐿𝑛(𝑘 − 1).
f. Dresser un tableau des valeurs de 𝐿𝑛(𝑘) pour 𝑛 ∈ {3, 4, 5} et 𝑘 ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
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Nom | Prénom | Établissement | Ville | Académie |
BENOIT | Raphaël | Lycée Chagall | REIMS | REIMS |
BIDALLIER | Serge | Lycée Louis Le Grand | PARIS | PARIS |
BOISSERIE | Samuel | Lycée Louis Davier | JOIGNY | DIJON |
BONACHERA | Fanette | Lycée général Blaise Pascal | AMBERT | CLERMONT-FERRAND |
BONNEVIE | Siméon | Lycée Chagall | REIMS | REIMS |
BOULANGER | Alix | LF Séoul | Séoul | AEFE Asie-Pacifique |
BOULONNE | Yoen | Lycée Montesquieu | LE MANS | NANTES |
BOURGADE | Mael | Valin | LA ROCHELLE | POITIERS |
BOUTON | Anatole | Berthelot | SAINT MAUR | CRETEIL |
BOYET | Jeanne | Berthollet | ANNECY | GRENOBLE |
CANDELLA HOANG VAN | Elyne | Lycée polyvalent | PARIS | PARIS |
CHARTOIRE | Hugo | Lycée général Blaise Pascal | AMBERT | CLERMONT-FERRAND |
CHATELAIN | LUCAS | Lycée Henri Vogt | COMMERCY | NANCY-METZ |
COUHERT | Adam | Lycée Chagall | REIMS | REIMS |
DALIVOUST | Candyce | Lycée Montesquieu | LE MANS | NANTES |
DE BELLOY DE SAINT LIENARD | Charles | LF San Francisco | San Francisco | AEFE-UsA |
DE LA FAYOTTE DE LA TOURN | Johannie | Lycée général Blaise Pascal | AMBERT | CLERMONT-FERRAND |
DELABRE | Owen | Lycée Rouvière | TOULON | NICE |
DESURMONT | Erik | Franco-allemand | BUC | VERSAILLES |
DIDELOT | Savinien | BALZAC | Tours | Orléans-Tours |
DUBOIS | Mathieu | Lycée Jean Monnet | BRUXELLES | AEFE ZENOS |
DUMANOWSKI | Elian | Lycée Louis Barthou | PAU | BORDEAUX |
DUSOULIER | Arthur | Sophie Barat | CHATENAY MALABRY | VERSAILLES |
ESTRADA | Matias | Lycée français de Guadalajara | Guadalajara Mexique | AEFE AMLANORD |
FISCHLER | Oscar | Lycée Louis Le Grand | PARIS | PARIS |
GAILLARD | Marie | Saint-Joseph La Salle | TOULOUSE | TOULOUSE |
GIANI | Valerio | Berthollet | ANNECY | GRENOBLE |
GIGANTE | Valentin | Notre-Dame des missions | CHARENTON LE PONT | CRETEIL |
GOULOIS | Titouan | Lycée De L’Harteloire | BREST | RENNES |
GRAINDORGE | Emile | Lycée Nicolas Bremontier | Bordeaux | BORDEAUX |
HEBERT | Emilie | Lycée Chagall | REIMS | REIMS |
ISMAAILI | Erni Noam | Lycée international des Pontonniers | STRASBOURG | STRASBOURG |
KASRIEL | Alban | LF San Francisco | San Francisco | AEFE-UsA |
LALLEMENT | The Anh | Lycée Léon Blum | LE CREUSOT | DIJON |
LAMBERT | Adrien | Lycée Victor Hugo | Besançon | BESANCON |
LAURENT-LEVINSON | Paul | Ecole Alsacienne | PARIS | PARIS |
LAZZARI | Léonard | Lycée Louis Le Grand | PARIS | PARIS |
LECOMPTE | Victor | Paul Louis COURRIER | Tours | Orléans-Tours |
LEE | Jae-In | LF Séoul | Séoul | AEFE Asie-Pacifique |
LHOPITALLIER | Alice | Lycée Montesquieu | LE MANS | Nantes |
LU | Isabella | LF San Francisco | San Francisco | AEFE-UsA |
MARTINEZ | Ignacio | Lycée français de Guadalajara | Guadalajara Mexique | AEFE AMLANORD |
MATSOS | Jules | SAINTE-MARIE | LYON 5 | LYON |
MERLIN-WECK | Mona | Lycée Louis Le Grand | PARIS | PARIS |
MOLE | Raphaël | Lycée Montesquieu | LE MANS | NANTES |
MORA | Garance | Joffre | MONTPELLIER | MONTPELLIER |
MURO | Sofia | Lycée français de Guadalajara | Guadalajara Mexique | AEFE AMLANORD |
NGUYEN | Anh Duc | Lycée Louis Le Grand | PARIS | PARIS |
PALADE | Simon | Berthollet | ANNECY | GRENOBLE |
POITEVIN–ESPANET | Romain | Lycée Louis Le Grand | PARIS | PARIS |
RAMONDOU | Augustin | AUX LAZARISTES | LYON 5 | LYON |
REMIZE | Léon | Louis Rascol | ALBI | TOULOUSE |
RYU | Melania | LF Séoul | Séoul | AEFE Asie-Pacifique |
SCHOEFFEL | Alexandre | Lycée Stanislas | PARIS | PARIS |
SCUTURICI | Victor | CHARLIE CHAPLIN | DECINES-CHARPIEU | LYON |
TURRI | Balthazar | Lycée Louis Le Grand | PARIS |
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Liste issue des archives Animath, l’association co-organisatrice des Olympiades françaises de mathématiques
Ces dernières années, l’académie de Mayotte était la grande absente aux Olympiades nationales de mathématiques. Pourtant, en 2023, sa participation a été exceptionnelle !
700 élèves de classe de première issus de 6 lycées différents ont participé à cette édition des Olympiades de maths 2023.
Trois lauréats ont même reçu un prix pour leur composition exceptionnelle. Espérons que ce regain d’intérêt persiste et continue à susciter de nouvelles vocations chez les jeunes générations de lycéens de l’île hippocampe.
Vous aussi, préparez votre participation à l’édition des Olympiades de Mathématiques 2024 avec Cours Gauss !
